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群/环/域概念复习

群/环/域概念复习

 
粗略理解
  • 半群：加法。例如自然数对加法构成半群
  • 群：加法+减法。例如，整数对加减法构成群
  • 环：加+减+乘法。例如整数对加减乘法构成环
  • 域：加减乘除。例如有理数对加减乘除构成域
 
在定义过程中，由于减法和除法是加法和乘法的逆运算，不需要单独定义，只需要定义加法和乘法满足这些性质即可。即，对于半群和群，我们只需要定义加法（一种二元运算），而对于环和域，我们需要定义两种二元运算（加法和乘法）。
 
二元运算的概念：取非空集合 ，映射 称为 上的一个二元运算。
其中 为笛卡尔积。
这个二元运算可以有任何定义、可以运用任何符号。例如 都行，关键在于映射(mapping)
 
Example.
(1) 集合：整数集，运算：
(2) 集合：整数集. 运算：
(3) 集合：n阶可逆矩阵全体. 运算：
(4) 集合：所有人构成的集合. 运算： 张三
 
向量的叉乘、整数的减法、n阶可逆矩阵 都不满足结合律。
 
结合律往往比交换律更加重要。
 
ai总结
半群、群、环、域是代数学中四个基本且层层递进的代数结构概念，它们都由一个集合以及定义在集合上的一种或多种运算构成，区别在于它们各自需要满足的运算规则的严格程度不同12。

概念层次关系

这些代数结构的关系可以看作是不断增加约束条件的过程1。一个域首先是一个环，一个环（在加法运算下）是一个群，而一个群又是一种特殊的半群3。
  • 半群：最基础的结构，只要求运算满足封闭性和结合律4。
  • 群：在半群的基础上，增加了单位元和逆元的要求51。
  • 环：在群的基础上，引入了第二种运算（乘法），要求集合在加法下构成交换群，在乘法下构成半群，且乘法对加法满足分配律63。
  • 域：是环的进一步特化，要求更高。它是一个交换环，并且其中所有非零元素在乘法下也构成一个交换群78。
下面将分别对这四个概念进行详细解释。

半群 (Semigroup)

半群是一个集合配上一个二元运算，这个运算需要满足以下两个基本条件49：
  • 封闭性 (Closure)：集合中任意两个元素进行运算后，得到的结果仍然是该集合中的元素10。例如，对于集合S和运算·，任意a, b属于S，a·b也必须属于S4。
  • 结合律 (Associativity)：运算的先后次序不影响最终结果10。例如，(a·b)·c 等于 a·(b·c)4。
相关概念：幺半群 (Monoid)
如果一个半群中还存在一个特殊的单位元（或幺元），集合中任何元素与该单位元运算，结果都等于其本身，那么这个半群就升级为幺半群461。

群 (Group)

群是在半群的基础上增加了更严格的条件，它要求集合在一个二元运算下满足以下四个公理58：
  1. 封闭性：与半群要求相同5。
  1. 结合律：与半群要求相同5。
  1. 存在单位元 (Identity Element)：集合中必须存在一个单位元e，对于集合中任意元素a，满足 a·e = e·a = a58。
  1. 存在逆元 (Inverse Element)：对于集合中的每一个元素a，都必须存在一个对应的逆元a⁻¹，使得 a·a⁻¹ = a⁻¹·a = e58。
相关概念：交换群 (Abelian Group)
如果一个群的运算还满足交换律（即 a·b = b·a 对所有元素成立），那么这个群被称为交换群或阿贝尔群51。交换群是定义环的基础3。

环 (Ring)

环是比群更复杂的代数结构，它建立在一个集合和两种二元运算（通常称为加法+和乘法·）之上61。一个代数结构要成为环，需要满足以下条件8：
  1. 关于加法运算，该集合构成一个交换群（Abelian Group）63。这意味着加法满足封闭性、结合律、交换律，且存在加法单位元（通常记为0）和加法逆元（-a）8。
  1. 关于乘法运算，该集合构成一个半群 (Semigroup)310。这意味着乘法满足封闭性和结合律10。
      • 注：如果乘法还存在单位元（通常记为1），则该环被称为幺环（Ring with unity）6。
  1. 分配律 (Distributivity)：乘法对加法运算满足分配律，即将两种运算关联起来61。即 a·(b+c) = (a·b) + (a·c) 和 (a+b)·c = (a·c) + (b·c) 均成立6。

域 (Field)

域是一种比环限制更多的代数结构，可以简单理解为在其中可以进行加、减、乘、除（除以非零元素）四则运算的集合78。一个代数结构要成为域，必须满足：
  1. 它首先是一个交换环，即其乘法运算也满足交换律7。
  1. 关于加法运算，它是一个交换群7。
  1. 关于乘法运算，所有非零元素也构成一个交换群7。这意味着乘法不仅满足封闭性、结合律和交换律，还要求每个非零元素都存在乘法逆元（即倒数）78。
  1. 乘法对加法满足分配律7。
总结
下表清晰地展示了四个概念之间的区别与联系：
代数结构
运算数量
运算 + 的要求
运算 · 的要求
运算间关系
半群
1种 (·)
-
封闭、结合
-
群
1种 (·)
-
封闭、结合、有单位元、有逆元
-
环
2种 (+, ·)
构成交换群
构成半群
分配律
域
2种 (+, ·)
构成交换群
非零元素构成交换群
分配律
例如，整数集合在加法下构成一个群，但在乘法下不构成群（因为除了1和-1，其他整数没有乘法逆元），因此整数集和加法、乘法运算构成一个环，但不是一个域78。而有理数、实数和复数集合在常规的加法和乘法下都构成了域78。
  1. https://blog.csdn.net/u010451780/article/details/105688431
  1. https://blog.csdn.net/lee353086/article/details/106981919
  1. https://wuli.wiki/online/field.html
  1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4
  1. https://blog.csdn.net/shulianghan/article/details/96100971
  1. https://www.bananaspace.org/wiki/%E7%8E%AF
  1. https://www.bananaspace.org/wiki/%E5%9F%9F
  1. https://www.cnblogs.com/fps2tao/p/16720235.html
  1. https://www.guofei.site/2021/08/21/algebra_system.html
  1. https://www.cnblogs.com/pam-sh/p/15968394.html
  1. https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%8A%E7%BE%A4/4345550
  1. https://www.cnblogs.com/lfri/p/10029117.html
  1. https://math.fandom.com/zh/wiki/%E5%8D%8A%E7%BE%A4
  1. https://blog.csdn.net/qq_43511964/article/details/102536405
  1. https://juejin.cn/post/6897210347514658830
  1. https://baike.baidu.com/item/%E7%BE%A4/6977479
  1. https://blog.csdn.net/cw397265362/article/details/116269398
  1. http://www.mmrc.iss.ac.cn/~lzhi/Course/algebrachapter4.pdf
  1. https://www.cnblogs.com/guanghui-hua/articles/18050297
  1. https://www.reddit.com/r/math/comments/2prgn7/remember_the_properties_of_group_ring_field/?tl=zh-hans
 
Example. 一些群的例子
(1) 集合：整数集，运算：通常加法
(2) 集合：正有理数集. 运算：通常乘法
(3) 集合： .运算：函数的乘法
对于定义在[0,1]区间上所有取不到0的函数构成的集合，以函数乘法作为运算，这样构成了一个群，因为它满足了群的四个基本公理：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元124。
以下将逐一验证这四个条件：

群的判定条件

为了证明一个非空集合G在某个二元运算下构成群，需要验证以下四个条件5。
1. 封闭性
一个集合具有封闭性，指的是集合中任意两个元素进行该运算后，其结果仍然属于这个集合5。
  • 验证：设f(x)和g(x)是定义在[1]区间上且函数值恒不为0的任意两个函数。它们的乘积定义为 h(x) = f(x) * g(x)。因为对于区间[1]中的任意x，f(x) ≠ 0且g(x) ≠ 0，所以它们的乘积h(x)也必然不等于0。因此，h(x)仍然是该集合中的一个元素，封闭性成立5。
2. 结合律
运算满足结合律，即对于集合中任意三个元素a, b, c，(a * b) * c = a * (b * c)成立5。
  • 验证：设f(x), g(x)和h(x)是集合中的任意三个函数。由于函数乘法是逐点定义的，我们有：
    • ((f * g) * h)(x) = (f(x) * g(x)) * h(x)
    • (f * (g * h))(x) = f(x) * (g(x) * h(x))
        • 因为实数的乘法满足结合律，所以(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) * h(x))。因此，函数乘法也满足结合律5。
3. 存在单位元
集合中必须存在一个特殊的元素e（单位元），使得对于集合中任意元素a，a * e = e * a = a成立5。
  • 验证：考虑常数函数e(x) = 1。这个函数定义在[1]区间上，并且其函数值恒为1，不等于0，所以它属于该集合。对于集合中任意函数f(x)，有：
    • (f * e)(x) = f(x) * e(x) = f(x) * 1 = f(x)
        • 因此，常数函数e(x) = 1是该集合关于函数乘法运算的单位元5。
4. 存在逆元
对于集合中的每一个元素a，都必须存在一个对应的元素a⁻¹（逆元），使得a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e，其中e是单位元5。
  • 验证：对于集合中任意一个函数f(x)，由于其函数值f(x)对所有x都恒不为0，我们可以定义它的逆函数为g(x) = 1 / f(x)。
    • 这个逆函数g(x)也是定义在[1]区间上的。
    • 由于f(x)不为0，g(x)的分母不为0，因此g(x)本身的值也永远不会是0，所以g(x)也属于该集合。
    • 它们的乘积为(f * g)(x) = f(x) * g(x) = f(x) * (1 / f(x)) = 1，即单位元e(x)。
        • 因此，集合中每个元素都存在逆元5。
由于该集合与运算满足了封闭性、结合律、有单位元和有逆元这四个条件，因此它构成一个群135。
  1. https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%BE%A4
  1. https://baike.baidu.com/item/%E7%BE%A4/6977479
  1. https://zh.wikipedia.org/?title=%E7%BE%A4
  1. https://chenliang.org/2021/02/26/group-theory/
  1. https://blog.csdn.net/shulianghan/article/details/96100971
  1. https://math.ecnu.edu.cn/~wsun/teaching/Analysis_short_course_2014/Analysis.pdf
  1. https://oi-wiki.org/math/algebra/group-theory/
  1. https://www.reddit.com/r/explainlikeimfive/comments/sgfilx/eli5_why_is_0%E2%81%B0_undefined/?tl=zh-hans
(4) 集合：非空集合X上的所有双射构成的集合. 运算：映射的复合（置换群）
好的，没问题！我们一步一步来把这个问题彻底搞清楚。把它想象成用乐高积木搭建一个模型：我们首先要认识每一块积木（基本概念），然后按照图纸（群的定义）来搭建，最后看看我们搭好的这个模型为什么叫“置换群模型”。

第一部分：理解基本概念 (我们的“乐高积木”)

在我们讨论“群”之前，我们必须先理解几个关键的词。

1. 集合 (Set)

一个集合就是一堆东西的合集。这些“东西”可以是任何东西，比如数字、字母、甚至几个人。
例子: 假设我们有一个非空集合 X，里面有三个数字：
X={1,2,3}

2. 映射 (Mapping / Function)

一个映射（或者叫函数）就像一个“转换机器”。你从一个集合（比如 X）里放一个东西进去，它就按照一个固定的规则，从另一个集合（也可以是 X 自己）里吐出一个东西出来。
我们用 f:X→X 来表示一个从集合 X 到集合 X 的映射。
例子: 我们可以定义一个映射 f:X→X 如下：
  • f(1)=2 (把 1 变成 2)
  • f(2)=3 (把 2 变成 3)
  • f(3)=1 (把 3 变成 1)

3. 双射 (Bijection)

“双射”是一种非常特殊的、非常完美的映射。它必须同时满足两个条件：
  • 条件一：单射 (Injective / One-to-one)
    • 通俗解释: 不会出现“多对一”的情况。不同的输入，一定会得到不同的输出。
    • 例子: 上面的映射 f 就是单射，因为 1、2、3 这三个不同的输入，分别得到了 2、3、1 这三个不同的输出。
    • 反例: 如果一个映射 g 定义为 g(1)=2,g(2)=2,g(3)=1，它就不是单射，因为两个不同的输入（1 和 2）得到了相同的输出（2）。
  • 条件二：满射 (Surjective / Onto)
    • 通俗解释: 输出集合里的每一个元素都被“击中”了，没有一个元素是“没人要的”。
    • 例子: 上面的映射 f 也是满射。因为输出集合也是 X={1,2,3}，而实际的输出是 {2,3,1}，可以看到 1、2、3 都出现了，一个都没落下。
    • 反例: 如果一个映射 h 定义为 h(1)=2,h(2)=2,h(3)=2，它就不是满射，因为输出结果里只有 2，元素 1 和 3 都没被“击中”。
当一个映射既是单射又是满射时，我们就称它为双射 (Bijection)。
你可以把双射想象成一种完美的配对或重新排列。对于集合 X={1,2,3}，每个元素都被唯一地、不重不漏地指派到了一个新的位置（这个新位置也可以是它原来的位置）。

4. 映射的复合 (Composition of Mappings)

映射的复合就是把两个映射接连起来使用。如果我们有两个映射 f 和 g，那么 g∘f (读作 "g a a 合 f") 的意思就是“先做 f，再做 g”。
例子:
还是用 X={1,2,3}。
假设 f 是我们之前的映射：f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1。
再假设另一个映射 g：g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2。
那么 g∘f 是什么呢？我们来看：
  • (g∘f)(1)=g(f(1))=g(2)=3 (1 先经过 f 变成 2，2 再经过 g 变成 3)
  • (g∘f)(2)=g(f(2))=g(3)=2 (2 先经过 f 变成 3，3 再经过 g 变成 2)
  • (g∘f)(3)=g(f(3))=g(1)=1 (3 先经过 f 变成 1，1 再经过 g 变成 1)
所以，g∘f 是一个新的映射，它把 1 变成 3，2 变成 2，3 变成 1。

第二部分：构成一个群 (搭建模型)

现在我们有了“积木”（双射）和“操作方法”（映射的复合），我们来看看为什么它们能构成一个“群”。
一个集合（我们称之为 G）和一个在它上面的运算（我们用 ∘ 表示）要构成一个群 (Group)，必须满足以下四个条件（称为“群公理”）：
  1. 封闭性 (Closure): 对于 G 中的任意两个元素 a 和 b，它们运算的结果 a∘b 必须仍然在 G 中。
  1. 结合律 (Associativity): 对于 G 中的任意三个元素 a,b,c，必须满足 (a∘b)∘c=a∘(b∘c)。
  1. 单位元 (Identity Element): G 中必须存在一个特殊的元素 e，对于任何 G 中的元素 a，都满足 a∘e=e∘a=a。（这个 e 就像数字中的 1 对于乘法，或者 0 对于加法）。
  1. 逆元 (Inverse Element): 对于 G 中的每一个元素 a，都必须存在一个对应的元素 a−1 (也在 G 中)，使得 a∘a−1=a−1∘a=e。（这个 a−1 就是能“撤销”a 的操作）。
现在，我们来验证一下**“集合 X 上所有双射构成的集合（我们记作 SX）”** 和 “映射的复合运算 ∘” 是不是满足这四个条件。

1. 验证封闭性

问题: 两个双射复合之后，结果还是一个双射吗？
答案: 是的。
  • 如果 f 和 g 都是单射，那么它们的复合 g∘f 也一定是单射。（不同的输入经过 f 得到不同输出，这些不同输出再经过 g 也会得到不同输出）。
  • 如果 f 和 g 都是满射，那么它们的复合 g∘f 也一定是满射。（f 覆盖了整个集合，g 也覆盖了整个集合，所以连起来也覆盖了整个集合）。
  • 既然 f 和 g 都是双射（既单射又满射），那么 g∘f 也必然既是单射又是满射，所以 g∘f 也是一个双射。
      • 结论: 封闭性满足。

2. 验证结合律

问题: 映射的复合运算满足 (h∘g)∘f=h∘(g∘f) 吗？
答案: 是的。
这其实是映射复合的一个基本性质。我们来看它们对任意一个元素 x∈X 的作用：
  • 左边：((h∘g)∘f)(x)=(h∘g)(f(x))=h(g(f(x)))
  • 右边：(h∘(g∘f))(x)=h((g∘f)(x))=h(g(f(x)))
      • 两边的最终结果都是一样的。所以，结合律天然满足。
      结论: 结合律满足。

3. 验证单位元

问题: 是否存在一个“什么都不做”的双射？
答案: 是的。
我们定义一个恒等映射 idX，它把每个元素映射到它自身：idX(x)=x 对于所有 x∈X。
  • idX 是双射吗？是的。它是完美的“一对一”（单射），并且所有元素都被“击中”了（满射）。
  • 它满足单位元的要求吗？是的。对于任何双射 f，我们来复合一下：
    • (f∘idX)(x)=f(idX(x))=f(x)
    • (idX∘f)(x)=idX(f(x))=f(x)
        • 所以 f∘idX=idX∘f=f。
        结论: 存在单位元 idX，单位元满足。

4. 验证逆元

问题: 对于任何一个双射 f，是不是都存在一个能“撤销”它的双射 f−1？
答案: 是的。
因为 f 是一个双射（完美配对），所以对于每一个输出 y∈X，都存在唯一的一个输入 x∈X 使得 f(x)=y。
我们可以定义一个逆映射 f−1，它的作用就是把 y 送回到那个唯一的 x。即 f−1(y)=x。
  • 这个逆映射 f−1 本身也是一个双射吗？是的。因为原来的 f 是完美配对，所以反过来的配对也一定是完美的。
  • 它满足逆元的要求吗？是的。
    • (f−1∘f)(x)=f−1(f(x))=f−1(y)=x=idX(x)
    • (f∘f−1)(y)=f(f−1(y))=f(x)=y=idX(y)
        • 所以 f−1∘f=f∘f−1=idX。
        结论: 每个双射都存在逆元，逆元满足。
总结: 因为封闭性、结合律、单位元、逆元这四个条件全部满足，所以非空集合 X 上所有双射构成的集合，在映射的复合运算下，构成了一个群。

第三部分：为什么叫“置换群” (模型的名字)

这部分就非常直观了。
  • 什么是置换 (Permutation)？
      • 一个集合到其自身的双射，它的另一个名字就叫做置换。这个词非常形象，"置换"就是“放置交换”的意思。它描述了对集合内元素进行一次重新排列、洗牌或者换位置的操作。
      例如，我们之前的映射 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1 就是对集合 {1,2,3} 的一个置换。
  • 什么是置换群 (Permutation Group)？
      • 既然我们证明了由所有置换（即双射）构成的集合在复合运算下形成了一个群，那么这个群自然而然地就被称为置换群。
      如果集合 X 有 n 个元素，这个群通常也被称为 n 次对称群 (Symmetric Group)，记作 Sn。它包含了对这 n 个元素进行操作的所有可能的置换方式。

最终结论

当你听到“非空集合X上所有双射构成的集合，在映射的复合运算下构成一个置换群”这句话时，你可以这样分解理解：
  1. “非空集合X上所有双射”: 这是群里的元素。每一个元素就是一种对集合X的“完美重排”方案。
  1. “映射的复合”: 这是群的运算规则。意思是将两种重排方案接连作用。
  1. “构成一个群”: 这个系统是完备和自洽的。因为任何两种重排方案复合后，还是一个新的重排方案（封闭性）；方案的复合次序不影响最终结果（结合律）；有一个“保持原样”的方案（单位元）；并且任何一种重排方案都有一个对应的“撤销”方案（逆元）。
  1. “置换群”: 这是给这个群起的名字。因为群里的元素本质上就是“置换”，所以叫置换群。
希望这个从“积木”到“模型”的解释能帮助你理解！这是抽象代数中一个非常核心和基础的概念。
 
(1) : 构成Abelian 群
(2) : 构成semigroup
(3) 对 + 满足分配律
以上三种条件满足→构成环Ring
 
(1) : 构成Abelian 群
(2) : 构成Abelian group
(3) 对 + 满足分配律
以上三种条件满足→构成域Field
 
参考视频
[数学直通车]写给大一学生的群、环、域_哔哩哔哩_bilibili
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